Wahrscheinlichkeit eines 3W20-Probenpatzers

ⓘ DSA aus mathematischer Sicht

Wahrscheinlichkeits-Grundlagen: N-seitige Würfel - Summen N-seitiger Würfel spezielle Wahrscheinlichkeiten: Eigenschaftsproben - 3W20-Probenpatzer Bestehen einer Talentprobe - Die 3W20-Probe Finte und Wuchtschlag Wahrscheinlichkeit für Steigerung bei DSA3 Optimierung: Finte-Wuchtschlag-Kombination - Schaden beim Zat Nutzenuntersuchungen: KO im waffenlosen Kampf sonstige Überlegungen: W20 Vergleich - Häufigkeit der Magie Hausregeluntersuchungen: 3W20-Median-Probe

Einführung

Ein Patzer bei einer 3W20-Probe liegt vor, wenn mindestens zwei dieser drei W20-Würfe eine 20 ergeben. Die Frage ist nun, wie wahrscheinlich ein Patzer ist, bzw. wie wahrscheinlich es ist, keinen Patzer zu würfeln.

Wir möchten in diesem Artikel natürlich nur faire Würfel betrachten, was bedeutet, dass jede Würfelzahl gleich wahrscheinlich sein soll.

Übrigens kann man die Wahrscheinlichkeit für glückliche Proben (mindestens zwei Würfel zeigen 1) analog ausrechnen und erhält die gleichen Wahrscheinlichkeiten.

In Quellen wird über diese Wahrscheinlichkeit in Wege des Schwerts Seite 16, Mit flinken Fingern Seite 15 und Kodex des Schwertes Seite 18 gesprochen.

Wahrscheinlichkeit eines Patzers

Wie auf Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel nachzulesen, müssen wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Patzers die Anzahl aller Möglichkeiten sowie die Anzahl der „gewünschten“ Möglichkeiten ausrechnen und diese dann miteinander verrechnen.

Jeder einzelne W20-Wurf hat 20 mögliche Ergebnisse, also gibt es insgesamt $20*20*20=8000$ mögliche Ergebnisse für unseren 3W20-Wurf.

Die Anzahl der „gewünschten“ Möglichkeiten berechnet man nun, indem man die Ereignisse (20,20,≤19), (20,≤19,20), (≤19,20,20) und (20,20,20) betrachtet, dies ergibt $19+19+19+1=3*19+1=58$ „gewünschte“ Ergebnisse, d.h. 58 Möglichkeiten, mit einem Wurf einen Patzer (Doppel-20 oder Dreifach-20) zu erzielen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Patzers ist somit ${\frac {58}{8000}}=0,725\%$, wobei die Wahrscheinlichkeit, „nur“ eine Doppel-20 zu werfen, ${\frac {57}{8000}}=0,7125\%$ beträgt, und die Wahrscheinlichkeit eines spektakulären Patzers (Dreifach-20) ${\frac {1}{8000}}=0,0125\%$.

Stellt man sich nun die Frage, wie viele Patzer man in 100 Proben durchschnittlich erwarten „darf“, kann man dies als binomialverteilte Zufallsvariable ansehen (100 Versuche, Patzer gilt als „Erfolg“, hat „Erfolgswahrscheinlichkeit“ $0,725\%$), und den Erwartungswert ausrechnen:

$E=100*0,725\%=0,725$

Interessiert man sich hingegen für die Frage, wie lange man wohl auf den ersten Patzer warten „darf“, kann man dies als geometrisch verteilte Zufallsvariable ansehen (mit „Erfolgswahrscheinlichkeit“ $0,725\%$), und erhält als Erwartungswert:

$E={\frac {1}{0,725\%}}=137,93...$

Wahrscheinlichkeit, keinen Patzer zu würfeln

Zuletzt kann man auch noch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass man bei einer gewissen Anzahl $n$ von Proben keinen einzigen Patzer würfelt. Dazu überlegt man sich, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Probe keinen Patzer zu würfeln, $1-{\frac {58}{8000}}$ beträgt, und es ergibt sich somit die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$(1-{\frac {58}{8000}})^{n}$

Als Graph erhält man:

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Bereits bei 100 Proben ist die Wahrscheinlichkeit, keinen einzigen Patzer zu würfeln, also schon etwa auf 50% gefallen.