DSA aus mathematischer Sicht

ⓘGlossar zu irdischen Hintergründen
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ⓘ DSA aus mathematischer Sicht

Wahrscheinlichkeits-Grundlagen: N-seitige Würfel - Summen N-seitiger Würfel spezielle Wahrscheinlichkeiten: Eigenschaftsproben - 3W20-Probenpatzer Bestehen einer Talentprobe - Die 3W20-Probe Finte und Wuchtschlag Wahrscheinlichkeit für Steigerung bei DSA3 Optimierung: Finte-Wuchtschlag-Kombination - Schaden beim Zat Nutzenuntersuchungen: KO im waffenlosen Kampf sonstige Überlegungen: W20 Vergleich - Häufigkeit der Magie Hausregeluntersuchungen: 3W20-Median-Probe

ⓘ Würfel
DSA aus mathematischer Sicht Grundlegendes - Produkte - Würfelwurf Würfelarten: W3 - W4 - W6 - W8 - W10 (W100) - W12 - W20 - W30 Derisch: Würfel - Würfelspiele

Einleitung

Wolltest du immer schon mal die Wahrscheinlichkeiten analysieren, um

• Proben zu simulieren,
• Steigerungen nachzuprüfen (DSA3),
• herauszufinden, wie schwer es zum Beispiel ist, Stürze oder Waffentreffer zu überleben?

Wie stimmig sind die Regeln? Könnte es sein, dass sie sich zwar gut anhören, aber unter genauer Betrachtung nur als abwegig bezeichnet werden können?

Dazu ist das Wikiprojekt DSA aus mathematischer Sicht gedacht.

Mathematik und Rollenspiel

Obwohl Rollenspiel an sich mit Mathematik und Wahrscheinlichkeit nichts zu tun hat, gibt es im verwendeten Regelsystem fast immer Proben oder andere Mechanismen, die einen Würfelwurf verlangen. Mit stochastischen Mitteln kann man daher untersuchen, welche Regeln unter welchen Umständen wie funktionieren und wo die Grenzen der Simulation sind.

Darüber hinaus ist es verständlich, dass Spieler Abenteuerpunkte lieber in Fähigkeiten investieren, die wenigstens eine gewisse Chance auf Erfolg haben. Genau diese Chancen kann die Wahrscheinlichkeitsrechnung präzise berechnen.

Grundlagen

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. Jedem der möglichen Werte lässt sich eine Wahrscheinlichkeit zuordnen (unmöglichen Werten ordnet man die Wahrscheinlichkeit 0 zu).

Beispiele

• Anzahl der Augen bei einem Würfelwurf
• Summe der Augen eines Wurfes mit drei Würfeln
• Anzahl der übrig behaltenen Talentpunkte bei einer Talentprobe
• Anzahl der verursachten TP bei einer AT
• Trefferzone im Zonen-RS-System
• Erfolg oder Misserfolg einer Aktivität

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable an. Für die Betrachtung von DSA aus mathematischer Sicht braucht man eigentlich immer diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Bezeichnet man mit $X$ die Zufallsvariable und mit $x_{i}$ die möglichen Werte, schreibt man die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $x_{i}$ annimmt, mit $p_{i}:=P(X=x_{i}),~i=1,2,...$

Aus diesen Wahrscheinlichkeiten kann man die sogenannte Verteilungsfunktion durch einfache Addition berechnen: $F(x):=P(X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}p_{i}$
$F(x)$ bezeichnet also die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis höchstens den Wert $x$ hat - eine auch im Regelwerk häufig vorkommende Formulierung.

Beispiel

Für $F(1)$ gilt, dass ein W6 erwartungsgemäß in 1/6 aller Fälle höchstens eine 1 zeigt, und daher $F(1)={\frac {1}{6}}$. Für $F(2)$ gilt $F(2)=P(1)+P(2)={\frac {2}{6}}$, da in erwartungsgemäß zwei von sechs Fällen eine Eins oder Zwei herauskommt, für $F(6)$ schließlich summieren sich die Beiträge auf 1 - natürlich wird in 100% der Fälle "höchstens" eine Sechs gewürfelt. Wenn man die Verteilungsfunktion als Kurve zeichnet, erreicht sie ganz rechts die 100 %; daran ist sie leicht zu erkennen und von $P()$ zu unterscheiden.

In Hinblick auf das Regelwerk ist also zu beachten, ob nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird ("eine X muss gewürfelt werden, um..."), oder ob nach der Verteilungsfunktion gefragt wird ("bei höchstens Y Augen oder weniger gelingt..."). Der zweite Fall ist im Regelwerk sehr viel häufiger.

Die praktische Relevanz insbesondere der zweiten Formel für die Verteilungsfunktion ist,

• die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Experiments "mindestens n Augen in der Würfelsumme" vorauszusagen,
• auszurechnen, welche Verbesserung (in Prozent Erfolgswahrscheinlichkeit) es bringen würde, beispielsweise bestimmte kritischen Fähigkeitswerte anzuheben. Die Verteilungsfunktion der Würfelaugen ändert sich dadurch natürlich in keiner Weise; aber F() gestattet, die Steigerung der durchschnittlichen Erfolgswahrscheinlichkeiten von x % auf y % vorherzusagen. Damit können wir überlegen, ob es sich lohnt, diese Fähigkeit überhaupt zu steigern, oder doch lieber eine andere auszuwählen.

Beispiele

• Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel
• Wahrscheinlichkeit Summen N-seitiger Würfel

Analysen

Allgemein

• Vergleichende Würfe mit je einem Würfel
• Wahrscheinlichkeit eines 3W20-Probenpatzers

Talentsystem

• Wahrscheinlichkeit für das Bestehen einer Talentprobe

Kampfsystem

• Wunden ignorieren
• KO im waffenlosen Kampf
• Finte und Wuchtschlag
• Optimale Finte-Wuchtschlag-Kombination

Magiesystem

• Häufigkeit der Magie

Weblinks

• DSA3: Wahrscheinlichkeiten für erfolgreichen Talentsteigerungswurf
• Ist der gezielte Stich effektiv?